Hur räknas roten ur

•

Potensekvationer

I avsnittet som potenser såg vi hur man kan uttrycka upprepade multiplikationer med hjälp av potenser, och i avsnittet om kvadratrötter och andra rötter lärde vi oss hur vi kan använda rötter. I det här avsnittet ska vi gå ett steg längre och se hur man kan använda dessa metoder för att lösa matematiska problem.

Vi börjar med ett exempel på den typ av problem vi önskar lösa:

Exempel 1

Säg att vi har en kvadrat med arean $144\, cm^2$ (kvadratcentimeter). Hur lång är då kvadratens sida?

Vi vet att en kvadrats sidor är lika långa och vi väljer att beteckna längden på kvadratens sida som $x$ (mätt i $cm$).

Arean av en kvadrats yta bestäms av formeln

$$A_{kvadrat}=sidan^{2} = x^2$$

Det här ger oss ekvationen

$$144=x^2$$

Utifrån vad vi tidigare har lärt oss om kvadratrötter, vet vi att kvadratroten av talet $144$ är det tal $x$ vars kvadrat är $144$. Det ger

$$x=\pm\sqrt{144}=\pm 12$$

Eftersom längden på en kvadrats sida inte kan vara negativt

•

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal x är det icke-negativa tal y vars kvadrat är lika med x, det vill säga y² = x.

Kvadratrot betecknas med ett rottecken och exempelvis är eftersom 4²=16 och eftersom 1² = 1.

Namnet kommer av att kvadratroten är en lösning, rot, till en kvadratisk ekvation av typen y = x². Ekvationen har två lösningar med olika tecken. Med "kvadratrot" avses ofta den positiva lösningen, även kallad principalvärdet av kvadratroten. Exempel: ekvationen 4 = x² har två lösningar, det positiva talet 2 och det negativa talet −2. Med "kvadratroten ur 4" avses då 2.

Anledningen till att man väljer bara den icke-negativa lösningen är att man vill att skall vara en funktion, som då enbart får anta maximalt ett värde för varje x. Det går att generalisera kvadratroten till en flervärd funktion, men detta är inte särskilt vanligt när man bara behandlar reella tal.

Kvadratrötter ur negativa tal behandlas i komplex analys. Mer generellt kan b

•

Kvadratrötter

I tidigare avsnitt har vi lärt oss ompotenseroch att vi kan se potenser som ett sätt att skriva upprepad multiplikation.

I det här avsnittet ska vi bekanta oss med begreppet kvadratrot, som är användbart när vi löser problem som innehåller potenser.

I nästa avsnitt kommer vi att lära oss några regler som hjälper oss när vi ska räkna med kvadratrötter.

Vad är en kvadratrot?

Om vi tänker på talet 16, så vet vi från vad vi lärt oss om potenser att vi kan skriva talet 16 på följande sätt:

$$ 16=4\cdot4={4}^{2}$$

Talet 4² är en potens med basen 4 och exponenten 2.

En kvadratrot ur ett tal x är ett icke-negativt tal som upphöjt till 2 är lika med x.

Till exempel är 4 kvadratroten ur 16, eftersom 4² = 16. Man brukar säga att "kvadratroten ur 16 är lika med 4", eller "roten ur 16 är lika med 4".

Det finns ett särskilt matematiskt tecken som används för kvadratrötter. Vill vi skriva att kvadratroten ur 16 är lika med 4, så skriver vi så här:

$$ \sqrt