Hur räkna potens

•

Potenser

I det här avsnittet ska vi lära oss om potenser, vilket är ett användbart sätt att skriva upprepade multiplikationer. Potenser används i många olika sammanhang och i nästa avsnitt ska vi lära oss mer om ett sådant, nämligen hur vi kan skriva tal i grundpotensform.

Vad är en potens?

Vi vet sedan tidigare att om vi har en summa av ett antal likadana termer, så kan vi skriva den mer kortfattat. Har vi till exempel följande summa

$$ 5+5+5+5+5+5=30$$

så kan vi mer kortfattat skriva den med hjälp av räknesättet multiplikation, så här:

$$ 5\cdot 6=30$$

På liknande sätt kan vi ha en produkt av likadana faktorer, till exempel den här produkten:

$$ 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15625$$

Även denna typ av uttryck vill vi kunna skriva i en mer kortfattad form. Vi ser att talet 5 multipliceras med sig självt 6 gånger, vilket betyder att vi kan skriva det så här:

$$ {5}^{6}$$

Ett uttryck skrivet i den här formen kallar vi en potens. En potens består av en bas o

•

Att räkna med potenser

Potenslagarna

Multiplikation av potenser med samma bas är samma sak som att addera expontenterna.

Division av potenser med samma bas är detsamma som att subtrahera exponenterna.

Detta kallar vi den första respektive den andra potenslagen.

Första potenslagen

Andra potenslagen

Vad händer om du tar en potens, och exponentierar den igen som i bilden till höger?

Just nu ser det svårt ut men om vi skriver ut det som en fullständig multiplikation så ser det enklare ut.

(2³)² = (2·2·2)² =

(2·2·2)·(2·2·2) =

2·2·2·2·2·2 = 2⁶ = 2^2·3

Regeln är att exponentiera ett tal som redan är en potens, är detsamma multiplicera exponenterna.

Detta är viktigt nog för att kalla för lag.

Tredje potenslagen

Du vet att ett tal dividerat med sig själv alltid är ett, eller hur?

Nu vet du också att den andra potenslagen säger att division av potenser med samma bas är detsamma som att subtrahera nämnarens exponent från täljarens.

x⁴/x

•

Räkna med potenser

Lösningsförslag:

Eftersom de båda faktorerna har samma bas, 3, använder vi räkneregeln för multiplikation av potenser.

$$ {3}^{3}\cdot{3}^{2}={3}^{3+2}={3}^{5}$$

I det här fallet har vi tre faktorer, men vi kan ändå använda räkneregeln för multiplikation av potenser, om vi beräknar produkten i två steg. Kom också ihåg att 10 är samma sak som 10¹.

$${10}^{2}\cdot{10}^{5}\cdot10=$$

$$= {10}^{2+5}\cdot10=$$

$$={10}^{7}\cdot10=$$

$$={10}^{7+1}= $$

$$={10}^{8}$$

Division med potenser

Även när vi dividerar potenser finns det räkneregler som gör det enklare för oss att räkna när potenserna har samma bas.

Vi ska börja med att titta på ett exempel med en kvot där täljaren och nämnaren är potenser med basen 10:

$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}$$

På samma sätt som vi visade vad gäller multiplikation, kan vi beräkna det här uttrycket genom att skriva potenserna som produkter av ett antal 10-faktorer, så här:

$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}=\frac{10\