Hur derivera bråktal
•
Derivera bråk
Vi går vidare med det andra vanliga scenariot, ovan nämnt B. Det är inte en del av den uppgift som frågats efter, men besvarar bifrågan "angående bra metodiker att lösa deriveringsproblem.
Även denna gång kommer vi göra en enkel härledning av en potensregel föratt påvisa hur naturligt sambandet som först verkar konstigt faktiskt är.
Problem:
"Vad är derivatan av ?"
Den första deriveringsregeln man kommer i kontakt med (ja, det finns fler) är bara applicerbar på polynom (dvs av formen ). Och det räcker långt! Vi kan nämligen enkelt skriva om som en potens. För att se hur det går till går vi tillbaks till själva grunden för vad en potens är. Vi har exempelvis att . Detta ger att
Inget konstigt med det, det faller ut automatiskteftersom det är detta potenser innebär. Om vi jämför vad vi började med längst till vänster med det som föll ut till höger kan vi sammanfatta
Ur detta faller naturligt en potensregel ut, nämligen att .(*)
Men hur nyttjar vi de
•
Andraderivatan
I det förra avsnittet, där vi gick igenom hur vi kunde bestämma karaktären av en funktions extremvärden utifrån en funktions derivata, såg vi hur vi kan avgöra om en punkt där funktionens derivata är noll är en extrempunkt (maximipunkt eller minimipunkt) eller en terrasspunkt. Vi gjorde detta genom att undersöka derivatans tecken i närliggande punkter.
Dock innebar denna metod en hel del räknearbete. Därför är det ju rimligt att undra om det inte finns något enklare sätt att komma fram till vilken typ av punkter det rör sig om, annat än att titta direkt på funktionens graf och försöka avgöra frågan därifrån (vilket inte alltid är en pålitlig metod).
Som tur är för oss finns det en metod som förenklar detta arbete en hel del.
Vi har tidigare lärt oss hur vi kan komma fram till ett uttryck för en funktions derivata utifrån en given funktion. Detta gjorde vi genom att följa de deriveringsregler som gått att härleda från derivatans definition.
Funktionens andraderiva
•
Deriveringsregler
Tidigare lärde vi oss hur formeln för derivatans definition fungerar och hur vi med hjälp av den kan beräkna derivatan i en viss punkt för en given funktion. Dock kan det vara klumpigt att behöva återvända till derivatans definition varje gång man ska derivera (räkna ut gränsvärden för) en funktion.
Derivatan betecknas olika i olika litteratur. T ex \(f '(x)\) och \( \frac{d(f(x))}{dx}\) . Här använder vi \(f '(x)\). Beteckningen \( \frac{d(f(x))}{dx}\) kallas deriveringsoperator som påförs en funktion \(f(x)\).
Det finns deriveringsregler som kan härledas utifrån derivatans definition och sedan används för att beräkna derivatan för ett antal vanligt återkommande funktioner.
I tidigare avsnitt beräknade vi derivatan i en punkt. Nu skall vi beräkna derivatan för alla x i funktionens hela definitionsmängd. Då ersätter man punkten a med variabeln x. Derivatan blir då i sig en funktion i samma definitionsmängd.
Men innan vi börjar kolla på deriveringsreglerna tar