Hur påverkas derivatan om

  • Derivata exempel
  • Vad är derivatan av x
  • Vad är derivata

    • •

    Skissa grafer

    I det här avsnittet ska vi titta på hur vi kan skissa en graf utifrån en funktion. Här tar vi hjälp av det vi lärt oss om derivatan i de förgående avsnitten. Vi tittar också på det särskilda fallet med andragradsfunktioner där vi kan beräkna extremvärden och extrempunkter utan att använda derivata. 

    Skissa en graf

    I förra avsnittet  lärde vi oss om "Några typiska funktioners grafer” och vi kan  se att graferna varierar till utseendet beroende på hur hög den högsta potensen i funktionen är och vilket tecken koefficienten framför har. Det är den som “styr” grafens (kurvans) utseende. Med utgångspunkt från en algebraisk funktion ska vi skapa och skissa en graf i ett koordinatsystem. För att göra det är det i de flesta fall nödvändigt att bestämma derivatans nollställen, funktionens nollställen, i vilka intervaller funktionen är avtagande respektive växande, funktionens maximi- och minimivärden, eventuella inflexionspunkter, samt i vilket intervall funktionen är definie

    •

    Derivata av en konstant.

    Daja skrev :
    HT-Borås skrev :

    Att derivatan av en konstant är noll betyder precis det. Om f(x)=k är f'(x)=0, om f(x)=x^2+k är derivatan f'(x)=2x osv.

    jag vill gärna fatta varför konstanterna försvinner. Då påverkar ju lutning :)

    Att en konstantterm inte påverkar derivatans värde framgår av derivatans definition ("limes då h går mot 0").

    I uttrycket för f'(x) står det ju där f(x+h) - f(x) i täljaren.

    Det betyder att om g(x) = f(x) + k, dvs att f(x) och g(x) skiljer sig endast avseende en konstantterm k, så kommer uttrycket för g'(x) att ha en täljare som är g(x+h) - g(x) = (f(x+h) + k) - (f(x) + k) = f(x+h) + k - f(x) - k = f(x+h) - f(x), vilket är identiskt med täljaren i uttrcket för f'(x).

     

    Eftersom det enda beroendet av x och k återfinns i täljaren så är g'(x) = f'(x), vilket skulle visa

    •

    Derivatan av \( e^{kx} \)

    I det tidigare avsnittet lärde vi oss att derivatan av exponentialfunktionen f(x)=ex är f'(x)=ex. Hur ser då derivatan ut om exponentialfunktionen även har en konstant k i exponenten, till exempel funktionen f(x)=e3x?

    I det här avsnittet ska vi titta närmare på exponentialfunktionen av typen

    $$f(x)=e^{kx}$$

    och hur dess derivata ser ut.

    Derivatan av f(x)=ekx

    För att ta reda på detta undersöker vi först derivatan av funktionen f(x)=e3x. Vi deriverar funktionen med hjälp av derivatans definition:

    $$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

    Vi börjar med att stoppa in funktionen f(x) och förenklar så långt vi kan:

    $$\begin{align} f'(x) = & \lim_{h \to 0}\frac{e^{3(x+h)}-e^{3x}}{h} \\ & \\= & \lim_{h \to 0}\frac{e^{3x}\cdot e^{3h}-e^{3x}}{h} \\ & \\ = & \lim_{h \to 0}\frac{ e^{3x}(e^{3h}-1)}{h}\end{align}$$

    Eftersom \(e^{3x}\) inte påverkar gränsvärdet då \(h\to0\), kan vi lägga den utanför gränsvärdesoperationen